\(H=2x^2+9y^2-6xy-6y-12y+2004\)

\(\Rightarrow2H=4x^2+18y^2-12xy-12x-24y+4008\)

             \(=\left(4x^2-12xy+9y^2\right)+9y^2-12x-24y+4008\)

             \(=\left(2x-3y\right)^2-6\left(2x-3y\right)+9+9y^2-42y+49+3950\)

             \(=\left(2x-3y-3\right)^2+\left(3y-7\right)^2+3950\ge3950\)

\(\Rightarrow2H\ge3950\)

\(\Rightarrow H\ge1975\)

Dấu "=" tại \(\hept{\begin{cases}x=5\\y=\frac{7}{3}\end{cases}}\)

\(J=x^2+xy+y^2-3x-3y+1999\)

   \(=\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}-3x-3y+1999\)

   \(=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2-3\left(x+\frac{y}{2}\right)+\frac{9}{4}+3\left(\frac{y^2}{4}-\frac{y}{2}+\frac{1}{4}\right)+1996\)

    \(=\left(x+\frac{y}{2}-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(\frac{y}{2}-\frac{1}{2}\right)^2+1996\ge1996\)

Dấu "=" tại \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

Em có cách này câu J nè:) (tuy nhiên ko gọn như anh, cách này viết thành đa thức giống như đt biến x rồi tìm min thôi)

Ta có: \(J=x^2+2x.\frac{\left(y-3\right)}{2}+y^2-3y+1999\)

\(=x^2+2x.\frac{y-3}{2}+\frac{\left(y-3\right)^2}{4}+y^2-3y+1999-\frac{\left(y-3\right)^2}{4}\)

\(=\left(x+\frac{y-3}{2}\right)^2+\frac{3y^2-6y+3+7984}{4}\)

\(=\left(x+\frac{y-3}{2}\right)^2+\frac{3\left(y-1\right)^2}{4}+1996\ge1996\)